题目内容
1．已知F1，F2分别是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0）的左、右焦点，且|F1F2|=2，若P是该双曲线右支上的一点，且满足|PF2|=|F1F2|，则△PF1F2面积的最大值是（ ）| A． | 4 | B． | 3 | C． | 2 | D． | 1 |
分析 利用双曲线的定义求得|PF1|，作PF1边上的高AF2，由A为中点，可知AF1的长度，进而利用勾股定理求得AF2，运用基本不等式可得△PF1F2的面积的最大值．
解答 
解：由题意可得|PF2|=|F1F2|=2，
由双曲线的定义可得，|PF1|-|PF2|=2a，
即为|PF1|=2+2a，
过F2作AF2⊥PF1，垂足为A，
由等腰三角形的性质可得A为中点，
由勾股定理可得|AF2|=$\sqrt{{2}^{2}-（1+a）^{2}}$，
即有△PF1F2面积为$\frac{1}{2}$|AF2|•|PF1|=$\frac{1}{2}$（2+2a）•$\sqrt{{2}^{2}-（1+a）^{2}}$
=$\sqrt{（1+a）^{2}}$•$\sqrt{{2}^{2}-（1+a）^{2}}$≤$\frac{（1+a）^{2}+4-（1+a）^{2}}{2}$=2，
当且仅当（1+a）2=4-（1+a）2，即a=$\sqrt{2}$-1时，取得等号．
则△PF1F2面积的最大值是2．
故选：C．
点评 本题考查双曲线方程的定义和方程及性质，考查三角形面积的最值的求法，注意运用勾股定理和基本不等式，属于中档题．
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