Question

从椭圆 +=1，（a＞b＞0）上一点M向x轴作垂线恰好通过椭圆的左焦点F，且它的长轴端点A及短轴端点B的连线AB平行于FM，求椭圆的离心率．

Answer 1

解：（1）∵MF₁⊥x轴，AB∥OM，
∴Rt△OMF₁∽Rt△ABO?…（*）设点M（-c，y₁），代入椭圆方程+=1，
得+=1，解之得y₁=（舍负），所以MF₁=，
又∵AO=a，BO=b，OF₁=c，
∴将AO、BO、MF₁、OF₁的长代入（*）式，得，
∴b=c，得到b²=c²，即a²-c²=c²，所以a²=2c²，
∴离心率e满足e²=，可得e=（舍负）
即所求椭圆的离心率为．
分析：根据MF₁⊥x轴，AB∥OM，得到Rt△OMF₁∽Rt△ABO，从而得到比例线段：．再根据点M在椭圆上，求出M的纵坐标，得出MF₁=，再结合AO=a，BO=b，OF₁=c，代入所得比例式，化简可得b=c，从而求出椭圆的离心率e．
点评：本题结合一个特殊的椭圆，以求椭圆的离心率为载体，着重考查了椭圆的基本概念、余弦定理和基本不等式等知识点，属于中档题．