题目内容

从椭圆=1（a＞b＞0）上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且它的长轴端点A及短轴端点B的连线AB∥OM.

（1）求椭圆的离心率e；

（2）设Q是椭圆上任意一点，F2是右焦点，F1是左焦点，求∠F1QF2的取值范围.

解析：（1）∵MF1⊥x轴，∴xm=-c.

代入椭圆方程得ym=，∴kOM=-.

又∵kAB=-，且OM∥AB，

∴-=-.故b=c，从而e=.

（2）设|QF1|=r1,|QF2|=r2,∠F1QF2=θ,

∴r1+r2=2a,|F1F2|=2c,

∴cosθ=≥-1=0.

当且仅当r1=r2时,上式成立.

∴0≤cosθ≤1,故 θ∈［0,］.


练习册系列答案
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已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长、短轴端点分别为A、B，从椭圆上一点M（在x轴方向上）向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，
AB
∥
OM
，椭圆的离心率为（　　）
从椭圆+=1（a＞b＞0）上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且它的长轴端点A及短轴端点B的连线AB平行于OM．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若b=2，设Q是椭圆上任意一点，F2是右焦点，求△F1QF2的面积的最大值；
（Ⅲ）当QF2⊥AB时，延长QF2与椭圆交于另一点P，若△F1PQ的面积为20（Q是椭圆上的点），求此椭圆的方程．
从椭圆+=1（a＞b＞0）上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且它的长轴端点A及短轴端点B的连线AB平行于OM．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若b=2，设Q是椭圆上任意一点，F2是右焦点，求△F1QF2的面积的最大值；
（Ⅲ）当QF2⊥AB时，延长QF2与椭圆交于另一点P，若△F1PQ的面积为20（Q是椭圆上的点），求此椭圆的方程．
从椭圆+=1（a＞b＞0）上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且它的长轴右端点A与短轴上端点B的连线AB∥OM．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若Q是椭圆上任意一点，F2是右焦点，求∠F1QF2的取值范围；
（3）过F1作AB的平行线交椭圆于C、D两点，若|CD|=3，求椭圆的方程．

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