Question

16．已知线段AB是半径为2的球O的直径，C，D两点在球O的球面上，CD=2，AB⊥CD，45°≤∠AOC≤135°，则四面体ABCD的体积的取值范围是$[\frac{4}{3}，\frac{4\sqrt{3}}{3}]$．

Answer 1

分析 判断棱锥体积取得最值的位置，求出四面体ABCD的体积的最值，即可得到范围．

解答 解：线段AB是半径为2的球O的直径，C，D两点在球O的球面上，CD=2，AB⊥CD，45°≤∠AOC≤135°，
则四面体ABCD的体积的最小值是∠AOC=45°或135°时，经过CD与AB垂直的截面面积最小，如图（1）中三角形ECD，F为CD的中点，EC=OCsin45°=$\sqrt{2}$，OF=$\sqrt{3}$，EF=$\sqrt{（{\sqrt{2}）}^{2}-{1}^{2}}$
S_△ECD=$\frac{1}{2}$CD•EF=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{{（\sqrt{2}）}^{2}-{1}^{2}}$=1．
棱锥体积的最小值为：$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}-{1}^{2}}$×4=$\frac{4}{3}$．
当∠AOC=90°时，经过CD与AB垂直的截面面积最大，如图（2），截面三角形OCD是正三角形，边长为2．
棱锥体积的最大值为：$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}×4$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
四面体ABCD的体积的取值范围是：$[\frac{4}{3}，\frac{4\sqrt{3}}{3}]$．
故答案为：$[\frac{4}{3}，\frac{4\sqrt{3}}{3}]$．

点评 本题考查球的内接体，几何体的体积的最值的求法，考查空间想象能力以及计算能力．