Question

已知函数f（x）=(

1

2x-1

+

1

2

)•x．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）求证：f（x）＞0．

Answer 1

（1）由2^x-1≠0得x≠0，∴函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
（2）∵f（x）=(

1

2x-1

+

1

2

)•x=

2x+1

2(2x-1)

•x
∴f（-x）=

2-x+1

2(2-x-1)

•(-x)=-x•

1 2x +1

2( 1 2x -1)

=-x•

1+2x

2(1-2x)

=-

2-x+1

2(2-x-1)

•x=f(x)
∴函数f（x）为定义域上的偶函数．
（3）证明：当x＞0时，2^x＞1
∴2^x-1＞0，
∴

1

2x-1

＞0，
∴(

1

2x-1

+

1

2

)•x＞0
∵f（x）为定义域上的偶函数
∴当x＜0时，f（x）＞0
∴f（x）＞0成立