题目内容

在直角坐标系中，A（3，0），B（0，3），C（2cosθ，2sinθ）
（1）若
AC
⊥
BC
，求sin2θ的值；
（2）
AC
与
BC
能否共线？说明理由．
考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系,平行向量与共线向量
专题：平面向量及应用
分析：（1）由已知条件求出
AC
=(2cosθ-3，2sinθ)，
BC
=(2cosθ，2sinθ-3)，由
AC
⊥
BC
，得
AC
•
BC
=2cosθ(2cosθ-3)+2sinθ（2sinθ-3）=0，由此能求出sin2θ=-
5
9
．
（2）若
AC
与
BC
共线，则
2cosθ-3
2cosθ
=
2sinθ
2sinθ-3
，从而得sinθ+cosθ=
3
2
不成立，故
AC
与
BC
不能共线．
解答： 解：（1）∵在直角坐标系中，A（3，0），B（0，3），C（2cosθ，2sinθ），
∴
AC
=(2cosθ-3，2sinθ)，
BC
=(2cosθ，2sinθ-3)，
∵
AC
⊥
BC
，∴
AC
•
BC
=0，
∴
AC
•
BC
=2cosθ(2cosθ-3)+2sinθ（2sinθ-3）=0，
∴4cos2θ-6cosθ+4sin2θ-6sinθ=4-6（cosθ+sinθ）=0，
∴sinθ+cosθ=
2
3
，
∴1+2sinθcosθ=
4
9
，
∴sin2θ=-
5
9
．
（2）∵
AC
=(2cosθ-3，2sinθ)，
BC
=(2cosθ，2sinθ-3)，
∴若
AC
与
BC
共线，则
2cosθ-3
2cosθ
=
2sinθ
2sinθ-3
，
∴4sinθcosθ=4sinθcosθ-6cosθ-6sinθ+9，
∴sinθ+cosθ=
3
2
，
∵sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)∈[-
2
，
2
]，
∴sinθ+cosθ=
3
2
不成立，
∴
AC
与
BC
不能共线．
点评：本题考查向量垂直和向量共线的条件的应用，是中档题，解题题时要认真审题，注意三角函数的性质的灵活运用．
练习册系列答案
相关题目
已知圆锥的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，且圆锥的全面积为
4π
3
cm2，求：
（1）圆锥的底面半径和母线长；
（2）圆锥的体积．
已知圆A：（x+2
2
）2+y2=64，动圆M过点B（2
2
，0），且和圆A相切，动圆的圆心M的轨迹为曲线C
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解关于x的不等式
ax-1
x2-x-2
＞0（a≥0）
已知函数f（x）=ln
ex
2
-f′（1）•x，g（x）=
3
2
x-f（x）-
2
x
．
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对于下列三个命题
①函数y=x+
1
x
（x≠0）的最小值是2；
②?x∈R，x2+x+1＜0；
③若?x∈R，满足x2+bx+c＜0，则b2-4c＞0；
你认为其中真命题的序号是
 
．
命题“存在x∈R，x2-2x+1≤0”的否定是
 
．
如图，某林场为了及时发现火情，在林场中设立了两个观测点A和B，某日两个观测点的林场人员分别观测到C处有险情．在A处观测到火情发生在北偏西45°方向，在B点观测火场C在北偏西75°方向，已知B在A的正东方向10km处，那么火场C到观测点A的距离为
 
km．

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