题目内容
在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知
=
．
（1）求
的值；
（2）若cosB=
，△ABC的周长为10，求b的长．
| cosA-2cosC |
| cosB |
| 2c-a |
| b |
（1）求
| sinC |
| sinA |
（2）若cosB=
| 1 |
| 4 |
考点：正弦定理,余弦定理
专题：三角函数的求值,解三角形
分析：（1）已知等式右边利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到sinC=2sinA，即可求出所求式子的值；
（2）利用余弦定理列出关系式，将cosB与c=2a的值代入得到b=2a，根据三角形周长为10求出a的值，即可确定出b的值．
（2）利用余弦定理列出关系式，将cosB与c=2a的值代入得到b=2a，根据三角形周长为10求出a的值，即可确定出b的值．
解答：
解：（1）已知等式利用正弦定理化简得：
=
=
，
整理得：sinBcosA-2sinBcosC=2sinCcosB-sinAcosB，即sinAcosB+cosAsinB=2（sinBcosC+cosBsinC），
整理得：sin（A+B）=2sin（B+C），即sinC=2sinA，
则
=2；
（2）将sinC=2sinA，利用正弦定理化简得：c=2a，
由余弦定理得：cosB=
=
，
将c=2a代入得：
=
，整理得：b=2a，
∵a+b+c=10，
∴a+2a+2a=10，即a=2，
则b=4．
| cosA-2cosC |
| cosB |
| 2c-a |
| b |
| 2sinC-sinA |
| sinB |
整理得：sinBcosA-2sinBcosC=2sinCcosB-sinAcosB，即sinAcosB+cosAsinB=2（sinBcosC+cosBsinC），
整理得：sin（A+B）=2sin（B+C），即sinC=2sinA，
则
| sinC |
| sinA |
（2）将sinC=2sinA，利用正弦定理化简得：c=2a，
由余弦定理得：cosB=
| a2+c2-b2 |
| 2ac |
| 1 |
| 4 |
将c=2a代入得：
| a2+4a2-b2 |
| 4a2 |
| 1 |
| 4 |
∵a+b+c=10，
∴a+2a+2a=10，即a=2，
则b=4．
点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
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