Question

14．已知$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}$的夹角为$\frac{π}{3}$，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$|，设$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，则tanθ=（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． -1
• D． -$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 作出图形，将问题转化为解三角形问题．

解答 解：如图，设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，则∠COA=$\frac{π}{3}$，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，
则$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$=-$\overrightarrow{c}$，∠ODB=∠AOD=$\frac{2π}{3}$．BD=OA，OB=$\sqrt{3}$OA．
在△OBD中，由正弦定理得：$\frac{OB}{sin∠ODB}=\frac{BD}{sin∠BOD}$，∴$\frac{\sqrt{3}OA}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{OA}{sin∠BOD}$，
解得sin∠BOD=$\frac{1}{2}$，∴∠BOD=$\frac{π}{6}$．∴θ=∠BOD+∠AOD=$\frac{π}{6}+\frac{2π}{3}$=$\frac{5π}{6}$．∴tanθ=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查了平面向量加法的几何意义，属于中档题．