Question

设x，y，z∈（0，1），且x+y+z=2，设u=xy+yz+zx，则u的最大值为

4

3

．

Answer 1

分析：由题意可得 x²+y²+z²+2xy+2yz+2xz=4≥3（xy+yz+xz ），由此求得u=xy+yz+zx的最大值．

解答：解：∵x，y，z∈（0，1），且x+y+z=2，∴x²+y²+z²+2xy+2yz+2xz=4，
再由x²+y²+z²=

x2+y2+z2+x2+y2+z2

2

≥xy+yz+xz，可得
x²+y²+z²+2xy+2yz+2xz=4≥3（xy+yz+xz ），
∴u=xy+yz+zx≤

4

3

，当且仅当x=y=z时，等号成立．
故答案为

4

3

．

点评：本题主要考查基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于基础题．