Question

设x＞y＞z＞0，若

1

x-y

+

1

y-z

+

λ

z-x

≥0恒成立，则λ的最大值是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：由于x＞y＞z＞0，

1

x-y

+

1

y-z

+

λ

z-x

≥0?

λ

x-z

≤

1

x-y

+

1

y-z

，即λ≤

x-z

x-y

+

x-z

y-z

，应用基本不等式即可．

解答：解：∵x＞y＞z＞0，
∴

1

x-y

+

1

y-z

+

λ

z-x

≥0恒成立可转化为：

λ

x-z

≤

1

x-y

+

1

y-z

恒成立，即λ≤

x-z

x-y

+

x-z

y-z

恒成立；
∴只需λ≤(

x-z

x-y

+

x-z

y-z

)min即可．
∵x＞y＞z＞0，
∴

x-z

x-y

+

x-z

y-z

=

(x-y)+(y-z)

x-y

+

(x-y)+(y-z)

y-z

=2+

(y-z)

x-y

+

(x-y)

y-z

≥4．
∴(

x-z

x-y

+

x-z

y-z

)min=4．
∴λ≤4．即λ的最大值是4．
故选D．

点评：本题考查不等式的综合，难点在于将

1

x-y

+

1

y-z

+

λ

z-x

≥0恒成立转化为λ≤

x-z

x-y

+

x-z

y-z

恒成立；着重考查基本不等式的应用，属于难题．