Question

选修4-5：不等式选讲
设x，y，z∈（0，+∞），且x+y+z=1，求

1

x

+

4

y

+

9

z

的最小值．

Answer 1

分析：利用题中条件：“x+y+z=1”构造柯西不等式（x+y+z）（

1

x

+

4

y

+

9

z

）≥（1+2+3）²这个条件进行计算即可．

解答：解：由x+y+z=1可知

1

x

+

4

y

+

9

z

=（x+y+z）（

1

x

+

4

y

+

9

z

）．
由柯西不等式得（x+y+z）（

1

x

+

4

y

+

9

z

）≥（1+2+3）²=36．
当且仅当

x

1

=

y

2

=

z

3

，即x=

1

6

，y=

1

3

，z=

1

2

时，等号成立．
所以，

1

x

+

4

y

+

9

z

的最小值为36．

点评：本题考查用综合法证明不等式，关键是利用（x+y+z）（

1

x

+

4

y

+

9

z

）≥（1+2+3）²．