Question

2．已知：四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且$\frac{BF}{BC}$=$\frac{DG}{DC}$=$\frac{2}{3}$，求证：直线FE、GH、AC交于一点．

Answer 1

分析 证明四边形EFGH是梯形，得出EF，HG相交于一点，再利用面面相交即可证明直线FE、GH、AC交于一点．

解答 证明：连接BD，∵E，H分别是边AB，AD的中点，
∴EH∥BD；…（2分）
又∵$\frac{BF}{BC}$=$\frac{DG}{DC}$=$\frac{2}{3}$，∴FG∥BD；…（4分）
因此EH∥FG且EH≠FG；…（6分）
故四边形EFGH是梯形；
所以EF，HG相交，设EF∩HG=K，…（8分）
∵K∈EF，EF?平面ABC，
∴K∈平面ABC；
同理K∈平面ACD，…（10分）
又平面ABC∩平面ACD=AC，∴K∈AC，
故直线FE、GH、AC交于一点．…（12分）

点评 本题考查了证明三线相交的应用问题，通常是先证明两线交于一点，再证第三条直线过交点即可．