Question

5．设数列{a_n}满足a₁=6，a₂=-3，2a_n+2=a_n+1+a_n．
（1）记b_n=a_n+1-a_n，证明：{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用2a_n+2=a_n+1+a_n，b_n=a_n+1-a_n，即可证明{b_n}是以-9为首项，-$\frac{1}{2}$为公比的等比数列；
（2）由（1）可知b_n=$-9•（-\frac{1}{2}）^{n-1}$，求出数列{a_n}的通项、前n项和S_n，即可求出最大值和最小值．

解答 （1）证明：∵2a_n+2=a_n+1+a_n，b_n=a_n+1-a_n，
∴b_n+1=-$\frac{1}{2}$b_n，
∵a₁=6，a₂=-3，∴b₁=-9，
∴{b_n}是以-9为首项，-$\frac{1}{2}$为公比的等比数列；
（2）解：由（1）可知b_n=$-9•（-\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴a_n=b₁+b₂+…+b_n-1+a₁=$6×（-\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴数列{a_n}的前n项和S_n=6×$\frac{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}{1+\frac{1}{2}}$，
∴数列{a_n}的前n项和S_n的最大值为6，最小值为3．

点评 本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，属于中档题．