Question

13．已知向量|$\overrightarrow{a}$|=2，$\overrightarrow{b}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$），且 $\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角为$\frac{2π}{3}$，
（1）求|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$|；
（2）若（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$）⊥（2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$），求实数k的值．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow b=（-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，可得|b|=1，又|$\overrightarrow{a}$|=2，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为120°可求得$\vec a•\vec b=-1$，从而可求得|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$|；
（2）由（a+kb）⊥（2b-a），得（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）=0，可解得k=2．

解答 解：（1）因为$\overrightarrow b=（-\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，所以|b|=1，
又|$\overrightarrow{a}$|=2，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为120°
∴$\vec a•\vec b=-1$．…（3分）
$|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|=\sqrt{{（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）}^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}{+\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{4+4×2×1×（-\frac{1}{2}）+1}$=1…（5分）
（2）由（a+kb）⊥（2b-a），
得（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）=0，即2k-4+（2-k）×2×1cos120°=0，
解得k=2…（10分）

点评 本题考查平面向量的数量积的运算，考查理解与运算能力，属于中档题．