Question

17．已知点P是曲线C：xy=1（x＞0）上的点，Q是点P关于直线l：y=2x的对称点，R为直线l与曲线C的交点，则$\overrightarrow{OR}$•$\overrightarrow{OQ}$的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 1
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 根据题意，联立直线l与曲线C：xy=1的方程解可得R的坐标，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），结合题意可得$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$×2=-1，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=2×$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，解可得x₂=$\frac{-3{x}_{1}+4{y}_{1}}{5}$，y₂=$\frac{4{x}_{1}+3{y}_{1}}{5}$，则数量积$\overrightarrow{OR}$•$\overrightarrow{OQ}$可以用x₁，y₁表示，即$\overrightarrow{OR}$•$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x₂+$\sqrt{2}$y₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x₁+2y₁），由基本不等式的性质计算可得答案．

解答 解：根据题意，联立直线l与曲线C：xy=1的方程，有$\left\{\begin{array}{l}{xy=1}\\{y=2x}\end{array}\right.$，
解可得x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，y=$\sqrt{2}$，则R（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$），
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
又由Q是点P关于直线l：y=2x的对称点，则有$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$×2=-1，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=2×$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，
解可得x₂=$\frac{-3{x}_{1}+4{y}_{1}}{5}$，y₂=$\frac{4{x}_{1}+3{y}_{1}}{5}$，
又由x₁•y₁=1，
所以$\overrightarrow{OR}$•$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x₂+$\sqrt{2}$y₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{-3{x}_{1}+4{y}_{1}}{5}$+$\sqrt{2}$×$\frac{4{x}_{1}+3{y}_{1}}{5}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x₁+2y₁）≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2$\sqrt{2{x}_{1}{y}_{1}}$=2，
当且仅当x₁=2y₁=$\sqrt{2}$时等号成立，
即$\overrightarrow{OR}$•$\overrightarrow{OQ}$的最小值为2；
故选：D．

点评 本题考查向量数量积的运算，关键是表示出向量$\overrightarrow{OR}$与$\overrightarrow{OQ}$的坐标．