Question

椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，两焦点F₁，F₂之间的距离为2，椭圆上第一象限内的点P满足PF₁⊥PF₂，且△PF₁F₂的面积为1．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若椭圆C的右顶点为A，直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M，N，且满足AM⊥AN．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．

Answer 1

（1）＋y²＝1    （2）见解析

(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，因为|F₁F₂|＝2，所以c＝，由S△PF₁F₂＝1，得|PF₁||PF₂|＝2，又由PF₁⊥PF₂，得|PF₁|²＋|PF₂|²＝|F₁F₂|²＝12，即(|PF₁|＋|PF₂|)²－2|PF₁||PF₂|＝12，即4a²－4＝12，a²＝4，b²＝a²－3＝1，所以椭圆C的标准方程为＋y²＝1．
(2)由方程组，得(1＋4k²)x²＋8kmx＋4m²－4＝0，
Δ＝(8km)²－4(1＋4k²)(4m²－4)>0，整理得4k²－m²＋1>0．
设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，则x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝．
由AM⊥AN且椭圆的右顶点为A(2,0)，得(x₁－2)(x₂－2)＋y₁y₂＝0，
因为y₁y₂＝(kx₁＋m)(kx₂＋m)＝k²x₁x₂＋km(x₁＋x₂)＋m²，
所以(1＋k²)x₁x₂＋(km－2)(x₁＋x₂)＋m²＋4＝0，
即(1＋k²)·＋(km－2)·＋m²＋4＝0，
整理得：5m²＋16mk＋12k²＝0，
解得m＝－2k或m＝－，均满足4k²－m²＋1>0．
当m＝－2k时，直线的l方程为y＝kx－2k，过定点(2,0)，与题意矛盾，舍去；
当m＝－时，直线l的方程为y＝k(x－)，过定点(，0)，符合题意．
故直线l过定点，且定点的坐标为(，0)．