Question

如图，F是中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C的右焦点，直线l：x＝4是椭圆C的右准线，F到直线l的距离等于3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆C上动点，PM⊥l，垂足为M．是否存在点P，使得△FPM为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）；（2）P(，±).

试题分析：（1）求椭圆标准方程，一般利用待定系数法，利用两个独立条件确定a,b的值. 设椭圆C的方程为，由已知，得，∴∴b＝．所以椭圆C的方程为．（2）等腰三角形这个条件，是不确定的，首先需要确定腰. 由＝e＝，得PF＝PM．∴PF≠PM．若PF＝FM，则PF＋FM＝PM，与“三角形两边之和大于第三边”矛盾，∴PF不可能与FM相等．因此只有FM＝PM，然后结合点在椭圆上条件进行列方程求解：设P(x，y)(x≠±2)，则M(4，y)．∴＝4－x，
∴9＋y²＝16－8x＋x²，又由，得y²＝3－x²．∴9＋3－x²＝16－8x＋x²，∴x²－8x＋4＝0．∴7x²－32x＋16＝0．∴x＝或x＝4．∵x∈(－2，2)，∴x＝．∴P(，±)．综上，存在点P(，±)，使得△PFM为等腰三角形．
试题解析：解：（1）设椭圆C的方程为
由已知，得，∴，∴b＝．所以椭圆C的方程为
（2）由＝e＝，得PF＝PM．∴PF≠PM．
①若PF＝FM，则PF＋FM＝PM，与“三角形两边之和大于第三边”矛盾，
∴PF不可能与FM 相等．
②若FM＝PM，设P(x，y)(x≠±2)，则M(4，y)．∴＝4－x，
∴9＋y²＝16－8x＋x²，又由，得y²＝3－x²．∴9＋3－x²＝16－8x＋x²，
∴x²－8x＋4＝0．∴7x²－32x＋16＝0．∴x＝或x＝4．∵x∈(－2，2)，∴x＝．
∴P(，±)．综上，存在点P(，±)，使得△PFM为等腰三角形．