Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点与两焦点构成的三角形为正三角形．

（1）求椭圆的离心率；

（2）过点的直线与椭圆交于两点，若的内切圆的面积的最大值为，求椭圆的方程．

Answer 1

【答案】（1）离心率；（2）．

【解析】

试题分析：（1）易得离心率；（2）由（1）可知，椭圆方程为，欲使的内切圆面积最大，只需内切圆半径最大只需让最大．设直线

．令

当，即时，，此时，即椭圆方程为．

试题解析： （1）离心率．

（2）由（1）可知，，设椭圆方程为，

因为的周长为定值．

又，

欲使的内切圆面积最大，只需内切圆半径最大，只需让最大．

设直线与椭圆联立，

得：，其中，

所以．

令，则，

当，即时，，此时，即，

由的内切圆的面积的最大值为，知内切圆半径，所以．

所以椭圆方程为．