Question

【题目】设定义在上的函数对于任意实数，都有成立，且，当时，．

（1）判断的单调性，并加以证明；

（2）试问：当时，是否有最值?如果有，求出最值；如果没有，说明理由；

（3）解关于的不等式，其中．

Answer 1

【答案】（1）在上是减函数，证明见解析；（2）的最大值是，最小值是；（3）当时，不等式的解集为或，当时，不等式的解集为．

【解析】

试题分析：（1）任意实数，且，不妨设，利用差比较法，计算，所以函数为减函数；（2）在上单调递减，所以有最大值，有最小值．利用赋值法求出；（3）化简不等式得，由于为减函数，所以，．由于，或，所以当时，，不等式的解集为或；当时，，不等式的解集为．

试题解析：

（1）在上是减函数，证明如下：对任意实数，且，不妨设，其中，则，

∴．故在上单调递减．………………4分

（2）∵在上单调递减，∴时，有最大值，时，有最小值．在中，令，得，

故，，所以．

故当时，的最大值是3，最小值是0．………………6分

（3）由原不等式，得，

由已知有，即．

∵在上单调递减，∴，∴．………………9分

∵，∴或．

当时，，不等式的解集为或；

当时，，不等式的解集为．………………12分