Question

【题目】已知函数是定义在区间上的奇函数，且，若时，有成立．

（1）证明：函数在区间上是增函数；

（2）解不等式；

（3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）任取,证明成立即可；

（2）根据的奇偶性和单调性将不等式可转化为 ；

（3）根据单调性将命题转化为恒成立，再设，

进而转化为对恒成立．

试题解析：（1）任取，

则

，

，

，

又，

，

即函数在区间上是增函数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分

（2）函数是定义在区间上的奇函数，且在区间上是增函数，

则不等式可转化为，

根据题意，则有，解得．

即不等式的解集为．

（3）由（1）知，在区间上是增函数，

在区间上的最大值为，

要使对，恒成立，

只要，即恒成立．

设，

对恒成立，

则有即，

．

即实数的取值范围为