题目内容

设数列{a_n}中，a₁=1，点 $数学公式$ 函数y=x²+2的图象上，{b_n}为等比数列，且a₁=b₁，b₂（a₃-a₁）=b₁．
（1）求{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）求数列 $数学公式$ 的前n项和．

解：（1）由已知得a_n+1=a_n+2，∴a_n+1-a_n=2，
又a₁=1，所以数列{a_n}是以1为首项，公差为2的等差数列．…（3分）
故a_n=1+2（n-1）=2n-1…（4分）
∵b₁=a₁=1，b₂×4=1，∴ $\text{[math]}$
又∵{b_n}为等比数列，∴ $\text{[math]}$ …（8分）
（2） $\text{[math]}$ ，记数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为S_n…（10分）
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
两式相减，可得-3 $\text{[math]}$
∴-3S_n=-（6n-5）•4ⁿ-5
∴ $\text{[math]}$ …（14分）
分析：（1）根据数列{a_n}中，a₁=1，点 $\text{[math]}$ 函数y=x²+2的图象上，可得数列{a_n}是以1为首项，公差为2的等差数列，从而可求{a_n}的通项公式；利用{b_n}为等比数列可得{b_n}的通项公式；
（2）确定数列 $\text{[math]}$ 的通项，利用错位相减法可求前n项和．
点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列的通项与求和，利用错位相减法求数列的和是关键．

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设数列{a_n}中，若a_n+1=a_n+a_n+2，（n∈N^*），则称数列{a_n}为“凸数列”．
（1）设数列{a_n}为“凸数列”，若a₁=1，a₂=-2，试写出该数列的前6项，并求出该6项之和；
（2）在“凸数列”{a_n}中，求证：a_n+6=a_n，n∈N^*；
（3）设a₁=a，a₂=b，若数列{a_n}为“凸数列”，求数列前n项和S_n．

设数列{a_n}中，若a_n+1=a_n+a_n+2，（n∈N^*），则称数列{a_n}为“凸数列”．
（1）设数列{a_n}为“凸数列”，若a₁=1，a₂=-2，试写出该数列的前6项，并求出该6项之和；
（2）在“凸数列”{a_n}中，求证：a_n+3=-a_n，n∈N^*；
（3）设a₁=a，a₂=b，若数列{a_n}为“凸数列”，求数列前2010项和S₂₀₁₀．

设数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

，则a₂₀₁₂=（　　）

在数列{a_n}中，a 1=

，并且对任意n∈N^*，n≥2都有a_n•a_n-1=a_n-1-a_n成立，令b_n=

（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{

}的前n项和为T_n，证明：

设数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=2a_n+3，则通项a_n可能是（　　）