Question

已知点P（x，y）满足条件

x- y-2≤0 x+ 2y-5≥0 y-2≤0

，点A（2，1），则|

OP

|•cos∠AOP的最大值为（　　）

• A．

  4

  5

  5

• B．

  7

  5

  5

• C．

  9

  5

  5

• D．2

  5

Answer 1

分析：先根据约束条件画出可行域，利用向量的数量积将|

OP

|•cos∠AOP转化成

1

5

（2x+y），设z=

1

5

（2x+y），再利用z的几何意义求最值．

解答：解：在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的可行域（如图），
由于|

OP

|•cos∠AOP=

| OP •| OA cos∠AOP||

| OA |

=

OP • OA

| OA |

=

(2，1)•(x，y)

5

=

2x+y

5

，
令 z=

1

5

（2x+y），则y=-2x+

5

z，
平移直线y=-2x+

5

z，
由图形可知，当直线经过可行域中的点B时，直线y=-2x+

5

z的截距最大，此时z取到最大值，
由

x-y-2=0 y=2

，解得x=4，y=2，
即B（4，2），代入z=

1

5

（2x+y），
得z=

1

5

（2×4+2）=

10

5

=2

5

．
所以|

OP

|•cos∠AOP的最大值为2

5

．
故选D．

点评：本题主要考查了向量的数量积、简单的线性规划，以及利用几何意义求最值．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．