Question

设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）如果|AB|=，求椭圆C的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意知y₁＞0，y₂＜0．直线l的方程为  ，代入椭圆方程消掉x得y的二次方程，解出两根y₁，y₂，由，得-y₁=2y₂．代入得a，b，c的关系式，化简可得，即离心率；
（2）利用弦长公式：|AB|==及韦达定理可表示出弦长，令其等于可得a，b方程，再由即可求得a，b值；
解答：解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意知y₁＞0，y₂＜0．
直线l的方程为  ，其中．
联立得，
解得，
因为，所以-y₁=2y₂．即 ，
所以3c=2a，得离心率 ．
（2）由（1）知c=，
则==，
所以．
再由得．
所以，得a=3，．
椭圆C的方程为．
点评：本题考查椭圆方程的求解、直线与圆锥曲线的位置关系，考查学生的运算能力，韦达定理及弦长公式是解决该类问题常用知识，应熟练掌握．