Question

【题目】已知函数与函数的图像有两个不同的交点， ，且.

（1）求实数的取值范围；

（2）证明： .

Answer 1

【答案】(1) ；(2)证明见解析.

【解析】试题分析：（1）函数与函数的图象有两个不同的交点等价于；方程有两个不同的根，设，利用导数研究函数的单调性，结合函数图象可得出实数的取值范围；（2）根据（1）可知，

设利用导数可得在上单调递增，当时， ，即，所以，从而可得结论.

试题解析：（1）根据题意，方程有两个不同的根，

设，则，

根据，所以在上单调递增；

，所以在上单调递减.

所以时， 取得极小值.

又因为时， ， ，作出的大致图像如图所示，

所以.

（2）根据（1）可知，

设 ，

则.

设，则，

根据，则在上单调递减，所以当时， ，

所以，所以在上单调递增，

则当时， ，即，所以，

又因为在上单调递增，所以，即.