题目内容
【题目】设椭圆的左焦点为F,左顶点为A,已知
,其中O为坐标原点,e为椭圆的离心率.
求椭圆C的方程;
是否存在斜率为
的直线l,使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M,N时,能在直线
上找到一点P,在椭圆C上找到一点Q,满足
?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
【答案】(1)(2)不存在
【解析】
(1)由整理得:
,再由椭圆的简单性质列方程求解。
(2)联立直线与椭圆方程,表示出及
,利用
得到四点坐标之间的关系,从而表示出点Q的坐标,由椭圆方程即可判断是否存在点Q满足题意。
解:(1)由题意知:,
又因为,
,解得
故椭圆的方程为
(2)椭圆上不存在这样的点
.
设直线的方程为,
联立,得
,
,得
.
设,则
,
.
由知
为平行四边形,设
为
的中点,则它也是
的中点.
于是设,
,则
,
即,可得
.因为
,所以
.
若在椭圆
上,则
,矛盾.
因此,不存在满足条件的点.
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