Question

【题目】已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣t，t∈R，g（x）＝|x+3|．

（1）x∈R，有f（x）≥g（x），求实数t的取值范围；

（2）若不等式f（x）≤0的解集为[1，3]，正数a、b满足ab﹣2a﹣b＝2t﹣2，求a+2b的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)由条件可知,当x∈R时,恒成立,因此只需,然后利用绝对值三角不等式可求出的小值即可.

(2)根据不等式f(x)≤0的解集为[1,3],求出t的值,然后将t代入中,得到关于,的方程,再利用基本不等式求出的最小值即可.

解:(1)因为x∈R,有f(x)≥g(x),所以在x∈R时恒成立,

即在x∈R时恒成立,所以只需

因为,所以,

所以,

所以t的取值范围为.

(2)由,得,

因为不等式的解集为,,所以,解得.

将带入中,得,所以,

所以,当且仅当时取等号,

所以的最小值为9.