Question

如图所示的四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a（a＞0）的菱形，∠ABC=60°，点P在底面的射影O在DA的延长线上，且OC过边AB的中点E．
（1）证明：BD⊥平面POB；
（2）若PO=

a

2

，求平面PAC与平面PCO夹角的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（1）连AC，得△ABC是等边三角形，从而得OC⊥AB，OC⊥CD，由菱形性质得OB⊥BD，由线面垂直得PO⊥BD，由此能证明BD⊥平面POB．
（2）过点O作OC的垂线为x轴，OC所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出平面PAC与平面PCO夹角的余弦值．

解答： （1）证明：连AC，∵底面ABCD是边长为a（a＞0）的菱形，∠ABC=60°，
∴AC=a，∴△ABC是等边三角形，
又∵E是AB的中点，∴OC⊥AB，
又AB∥CD，∴OC⊥CD，AE∥CD，AE=

1

2

CD，
又由题意知∠ADC=60°，∴A，E分别为边OD与OC的中点，
连OB，在菱形ABCD中有AC⊥BD，∴OB⊥BD，
又PO⊥底面ABCD，
∴PO⊥BD，PO∩BO=O，
∴BD⊥平面POB．
（2）解：过点O作OC的垂线为x轴，OC所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，
建立空间直角坐标系O-xyz，
则O（0，0，0），P（0，0，

a

2

），A（-

a

2

，

3

2

a，-

a

2

），B（

a

2

，

3

2

a，0），C（0，

3

a，0），
由（1）知AB⊥OC，PO⊥底面ABCD，
∴PO⊥AB，∴AB⊥平面POC，
∴

AB

=（a，0，0）是平面POC的法向量，
设平面PAC的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • PA =-x+ 3 y-z=0 n • AC =x+ 3 y=0

，取x=-3，得

n

=(-3，

3

，6)，
设平面PAC与平面PCO的夹角为α，
则cosα=|cos＜

AB

，

n

＞|=|

-3a

4 3 a

|=

3

4

，
∴平面PAC与平面PCO夹角的余弦值为

3

4

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．