Question

设矩阵M=

1 a b 1

．
（I）若a=2，b=3，求矩阵M的逆矩阵M^-1；
（Ⅱ）若曲线C：x²+4xy+2y²=1在矩阵M的作用下变换成曲线C′：x²-2y²=1，求a+b的值．

Answer 1

考点：逆变换与逆矩阵

专题：选作题,矩阵和变换

分析：（I）求出M的行列式，即可求矩阵M的逆矩阵M^-1；
（Ⅱ）确定坐标之间的变换关系，利用若曲线C：x²+4xy+2y²=1在矩阵M的作用下变换成曲线C′：x²-2y²=1，比较系数，求出a，b，即可求a+b的值．

解答： 解：（I）当a=2，b=3时，M的行列式det（M）=-5，
故所求的逆矩阵M-1=

- 1 5 2 5 3 5 - 1 5

．…（3分）
（II）设曲线C上任意一点P（x，y），它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P'（x'，y'），则

1 a b 1

x y

=

x′ y′

，即

x+ay=x′ bx+y=y′

又点P'（x'，y'）在曲线C'上，所以x'²-2y'²=1，则（x+ay）²-2（bx+y）²=1，
即（1-2b²）x²+（2a-4b）xy+（a²-2）y²=1为曲线C的方程，…（5分）
又已知曲线C的方程为x²+4xy+2y²=1，
比较系数可得

1-2b2=1 2a-4b=4 a2-2=2

，解得b=0，a=2，∴a+b=2．…（7分）

点评：本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．