Question

8．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$和圆O：x²+y²=b²，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B，若椭圆上存在点P，使$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=0$，则椭圆离心率e的取值范围为（　　）

• A． $[\frac{1}{2}，1）$
• B． $[\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$
• C． $（0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$
• D． $[\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=0$可得∠APB=90°及圆的性质，可得|OP|的长，运用离心率公式，从而可求椭圆的离心率的范围．

解答 解：由$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=0$，可得∠APB=90°，
利用圆的性质，可得|OP|=$\sqrt{2}$b，
∴|OP|²=2b²≤a²，又b²=a²-c²，
∴a²≤2c²
∴e²≥$\frac{1}{2}$，
∵0＜e＜1，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤e＜1．
故选：B．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．