Question

2．若不等式n²-n（λ+1）+7≥λ，对一切n∈N^*恒成立，则实数λ的取值范围（　　）

• A． λ≤3
• B． λ≤4
• C． 2≤λ≤3
• D． 3≤λ≤4

Answer 1

分析 推导出n²-n+7≥λ（n+1），从而λ≤$\frac{{n}^{2}-n+7}{n+1}$对一切n∈N^*恒成立．由此利用基本不等式能求出实数λ的取值范围．

解答 解：∵不等式n²-n（λ+1）+7≥λ，对一切n∈N^*恒成立，
∴n²-n+7≥λ（n+1），
∵n∈N^*，∴λ≤$\frac{{n}^{2}-n+7}{n+1}$对一切n∈N^*恒成立．
而$\frac{{n}^{2}-n+7}{n+1}$=$\frac{（n+1）^{2}-3（n+1）+9}{n+1}$=（n+1）+$\frac{9}{n+1}$-3≥$2\sqrt{（n+1）•\frac{9}{n+1}}$-3=3，
当且仅当n+1=$\frac{9}{n+1}$，即=2时等号成立，
∴n≤3．
故选：A．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，涉及到数列、均值不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．