Question

已知抛物线y²=2px（p＞0），抛物线上纵坐标为1的点到焦点的距离为p，过点M（1，0）作斜率为k的直线l交抛物线于A，B两点，A点关于x轴的对称点为C，直线BC交x轴于Q点．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）探究：当k变化时，点Q是否为定点？

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）首先设抛物线y²=2px（p＞0）上纵坐标为1的点为N，则N（

1

2p

，1）；然后根据抛物线的定义，列出关于p的方程，求解即可；
（2）由（1），可得抛物线方程为：y²=2x，设过点M（1，0）做斜率为k的直线l的方程为：y=k（x-1），将直线的方程代入抛物线的方程，消去x得到关于y的一元二次方程，然后根据根与系数的关系，即可求出点Q的坐标．

解答： 解：（1）设抛物线y²=2px（p＞0）上纵坐标为1的点为N，则N（

1

2p

，1），
根据题意，N（

1

2p

，1）在抛物线上，
则

1

2p

+

p

2

=p，可得p=1；
（2）过点M（1，0）做斜率为k的直线l的方程为：y=k（x-1），
设A（

y12

2

，y1），B（

y22

2

，y2），
则C（

y12

2

，-y1），k_BC=

y2+y1

y22 2 - y12 2

=

2

y2-y1

，
所以直线BC的方程为：y+y₁=

2

y2-y1

（x-

y12

2

），
因此当y=0时，x=

y1y2

2

，即Q（

y1y2

2

，0），
又因为

y2=2x y=k(x-1)

，
可得ky²-2y-2k=0，则y₁y₂=-2，
所以当k变化时，点Q为定点，其坐标为（-1，0）．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合应用，考查了抛物线的定义、轨迹方程的求法，还考查了等价转化的思想，属于中档题．