Question

5．双曲线x²-y²=2015的左，右顶点分别为A，B，P为其右支上不同于B的一点，且∠APB=2∠PAB，则∠PAB=．

Answer 1

分析 由双曲线x²-y²=2015，焦点在x轴上，求得A和B点坐标，求得k_PA=tan∠PAB=$\frac{y}{x+\sqrt{2015}}$，k_PB=-tan∠PBA=$\frac{y}{x-\sqrt{2015}}$，则-tan∠PAB•tan∠PBA=1，tan∠PABtan（3∠PAB）=1，则tan∠PABtan（3∠PAB）=1，tan（3∠PAB）=tan（$\frac{π}{2}$-∠PAB），可得3∠PAB=$\frac{π}{2}$-∠PAB，即可求得∠PAB=$\frac{π}{8}$．

解答 解：由题意双曲线x²-y²=2015，焦点在x轴上，
A（-$\sqrt{2015}$，0），B（$\sqrt{2015}$，0），P（x，y），
k_PA=tan∠PAB=$\frac{y}{x+\sqrt{2015}}$，①
k_PB=-tan∠PBA=$\frac{y}{x-\sqrt{2015}}$，②
由x²-y²=2015，可得：$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}-2015}=1$，
①×②，得-tan∠PAB•tan∠PBA=1，
∴tan∠PABtan（3∠PAB）=1
即tan（3∠PAB）=tan（$\frac{π}{2}$-∠PAB）
∴3∠PAB=$\frac{π}{2}$-∠PAB，
∴∠PAB=$\frac{π}{8}$，
故答案为：$\frac{π}{8}$．

点评 本题考查了双曲线的简单性质，考查直线的斜率公式，考查计算能力，解析几何的基础知识，属于中档题．