Question

17．设命题p：?m∈[-1，1]，不等式a²-5a-3≥$\sqrt{{m^2}+8}$恒成立，
命题q：函数f（x）=lg（x²-4x+a²）的定义域为R；
如果命题“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 因为命题“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，所以p，q一真一假，进而得到答案．

解答 解：∵m∈[-1，1]，
∴$\sqrt{{m^2}+8}$∈[2$\sqrt{2}$，3]，
若不等式a²-5a-3≥$\sqrt{{m^2}+8}$恒成立，
则a²-5a-3≥3，
则a≤-1，或a≥6，
因为函数f（x）=lg（x²-4x+a²）的定义域为R
，所以x²-4x+a²＞0恒成立，
即△=16-4a²＜0，解得a＜-2或a＞2．
因为命题“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，
所以p，q一真一假，
（1）p真q假时，$\left\{\begin{array}{l}a≥6或a≤-1\\-2≤a≤2\end{array}\right.$，解得-2≤a≤-1；
（2）$\begin{array}{l}p假q真时\end{array}$，$\left\{\begin{array}{l}-1＜a＜6\\ a＜-2或a＞2\end{array}\right.$，解得2＜a＜6．
综上所述：a的取值范围为[-2，-1]∪（2，6）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，函数的单调性，二次方程根的个数判断等知识点，难度中档．