Question

已知P点是双曲线上一点，F₁、F₂是它的左、右焦点，若|PF₂|=3|PF₁|，则双曲线的离心率的取值范围是

1. A.
   （1，2）
2. B.
   （2，+∞）
3. C.
   （1，2]
4. D.
   [2，+∞）

Answer 1

C
分析：先根据双曲线定义可知|PF₂|-|PF₁|=2a进而根据|PF₂|=3|PF₁|，求得a=|PF₁|，同时利用三角形中两边之和大于第三边的性质，推断出，|F₁F₂|＜|PF₁|+|PF₂|，进而求得a和c的不等式关系，分析当p为双曲线顶点时，=2且双曲线离心率大于1，最后综合答案可得．
解答：解根据双曲线定义可知|PF₂|-|PF₁|=2a，即3|PF₁|-|PF₁|=2a．
∴a=|PF₁|．|PF₂|=3a
在△PF₁F₂中，|F₁F₂|＜|PF₁|+|PF₂|，
2c＜4|PF₁||，c＜2|PF₁|=2a，
∴＜2，
当p为双曲线顶点时，=2
又∵双曲线e＞1，
∴1＜e≤2
故选C
点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，三角形边与边之间的关系．解题的时候一定要注意点P在椭圆顶点位置时的情况，以免遗漏答案．