Question

已知F₁、F₂双曲线C：

x2

16

-

y2

9

=1的左、右焦点，直线l：y=

3

3

(x-5)与C在一象限的交点为P，点Q在线段PF₂的延长线上，|PF₁|=|PQ|，则△F₁F₂Q的面积是

20

．

Answer 1

分析：利用双曲线的定义转化可求得F₂Q，再利用点到直线间的距离公式求得点F₁到直线l的距离（△F₁F₂Q的底边F₂Q上的高）即可求得△F₁F₂Q的面积．

解答：解：∵双曲线C的方程为：

x2

16

-

y2

9

=1，左、右焦点分别为F₁（-5，0）、F₂（5，0），点P在右支上，
∴|PF₁|-|PF₂|=2a=8，
又|F₂Q|=|PQ|-|PF₂|，|PF₁|=|PQ|，
∴|F₂Q|=|PF₁|-|PF₂|=8，
设点F₁到直线l：y=

3

3

（x-5）即

3

x-3y-5

3

=0的距离为d，
则：d=

| 3 ×(-5)-3×0-5 3 |

3 2+32

=

10 3

2 3

=5，
∴△F₁F₂Q的面积S=

1

2

|F₂Q|d=

1

2

×8×5=20．
故答案为：20．

点评：本题考查双曲线的定义及点到直线间的距离公式、三角形的面积公式，考查转化思想与运算能力，属于中档题．