Question

已知{a_n}为递增的等比数列，且{a₁，a₃，a₅}⊆{0，1，3，4，16}．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在等差数列{b_n}，使得a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2对一切n∈N^*都成立？若存在，求出b_n；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由{a_n}为递增的等比数列，得到数列{a_n}的公比q＞0，且a₁＞0，又{a₁，a₃，a₅}⊆{0，1，3，4，16}，可得出a₁，a₃，a₅三项，则公比可求，通项可求．
（2）先假设存在等差数列{b_n}，由所给式子求出b₁，b₂，公差可求，通项可求，证明当b_n=n时，a₁b_n+a₂b_n-1++a_n-1b₂+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2对一切n∈N*都成立，用错位相减法求得此数列是适合的．

解答： 解：（1）因为{a_n}为递增的等比数列，所以其公比为正数
又{a₁，a₃，a₅}⊆{0，1，3，4，16}．
所以a₁=1，a₃=4，a₅=16       …（2分）
故q=2，a_n=a₁q^n-1=2^n-1
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-1…（4分）
（2）假设存在满足条件的等差数列{b_n}，其公差为d
当n=1时，a₁b₁=1，又a₁=1，所以b₁=1
当n=2时，a₁b₂+a₂b₁=4，即b₂+2b₁=4，所以b₂=2  …（6分）
故d=b₂-b₁=1，b_n=b₁+（n-1）d=n             …（8分）
下面证明当b_n=n时，a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1=2n+1-n-2对一切n∈N^*都成立
设S_n=a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_nb₁
即S_n=1×n+2×（n-1）+2²×（n-2）+2³×（n-3）+…++2^n-2×2+2^n-1×1　　①
2S_n=2×n+2²×（n-1）+2³×（n-2）+2⁴×（n-3）+…++2^n-1×2+2ⁿ×1　　②…（10分）
②-①得：Sn=-n+2+22+23+…+2n-1+2n=-n+

2(1-2n)

1-2

=2n+1-n-2
所以存在等差数列{b_n}，使得a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2对一切n∈N^*都成立    …（12分）

点评：本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，已知数列为等比数列，求通项公式，求首项和公比即可；用错位相减法求数列的前n项和，用时要观察项的特征，是否是等差数列的项与等比数列的项的乘积；考查推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想．