Question

如图1，在直角梯形A₁A₂A₃D中，A₁A₂⊥A₁D，A₁A₂⊥A₂A₃，且B，C分别是边A₁A₂，A₂A₃上的点，沿线段 BC，CD，DB分别将△BCA₂，△CDA₃，△DBA₁翻折上去恰好使 A₁，A₂，A₃重合于一点A（如图2）
（1）求证：AB⊥CD；
（2）已知A₁D=10，A₁A₂=8，试求：BD与平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）要证AB⊥CD，先证AB⊥面ACD，在其展成的平面图形中A₁B⊥A₁D，A₂B⊥A₂C，从而得到AB⊥AC，AB⊥AD，可得线面垂直，即可得线线垂直．
（2）过D作DE⊥AC于E，连接BE，证明∠DBE即BD与平面ABC所成的角，求出DE，BD，即可求：BD与平面ABC所成角的正弦值．

解答： （1）证明：∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD=A，AC、AD?平面ACD，
∴AB⊥平面ACD，…（4分）
又∵CD?平面ACD，
∴AB⊥CD…（6分）
（2）解：过D作DE⊥AC于E，连接BE，
∵AB⊥平面ACD，∴AB⊥DE
而AB∩AC=A，可得DE⊥平面ABC，
∴∠DBE即BD与平面ABC所成的角，…（10分）
∵B、C分别为A₁A₂和A₂A₃的中点，A₁B=A₂B=AB=4，A₁D=A₃D=AD=10，
∴在直角梯形A₁A₂A₃D中，求得A₂A₃=16，A₂C=A₃C=AC=8，DE=A₁A₂=8，…（12分）
在直角三角形ABD中，求得BD=2

29

，…（13分）
∴在直角三角形DEB中，sin∠DBE=

DE

BD

=

8

2 29

=

4 29

29

…（15分）

点评：本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成角等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．