Question

在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）若a，b，c成等比数列，求f(B)=sinB+

3

cosB的值域；
（2）若a，b，c成等差数列，且A-C=

π

3

，求cosB的值．

Answer 1

分析：（1）由a，b，c成等比数列，利用等比数列的性质得到b²=ac，再利用余弦定理表示出cosB，将b²=ac代入并利用基本不等式变形，求出cosB的范围，根据余弦函数的图象与性质可得出B的取值范围，然后将所求的式子提取2，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由B的范围求出这个角的范围，根据正弦函数的值域即可求出f（B）的取值范围；
（2）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质得到2b=a+c，再利用正弦定理化简得到2sinB=sinA+sinC，由B的度数求出A+C的度数，再由A-C的度数，两者联立用B表示出A和C，代入2sinB=sinA+sinC中，等号左边利用和差化积公式变形后，根据cos

B

2

不为0，可得出sin

B

2

的值，利用二倍角的余弦函数公式化简cosB后，将sin

B

2

的值代入即可求出值．

解答：解：（1）∵a，b，c成等比数列，
∴b²=ac，又a²+c²≥2ac，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

≥

2ac-ac

ac

=

1

2

，
当且仅当a=c时取等号，∴0＜B≤

π

3

，
f（B）=sinB+

3

cosB=2sin（B+

π

3

），
又B+

π

3

∈（

π

3

，

2π

3

]，∴

3

≤f（B）≤2，
则f（B）的值域为[

3

，2]；
（2）∵a+c=2b，∴sinA+sinC=2sinB，
又A-C=

π

3

，A+C=π-B，
∴A=

2π

3

-

B

2

，C=

π

3

-

B

2

，
∴sin（

2π

3

-

B

2

）+sin（

π

3

-

B

2

）=2sinB，
展开化简得：

3

cos

B

2

=2×2sin

B

2

cos

B

2

，
∵cos

B

2

≠0，∴sin

B

2

=

3

4

，
∴cosB=1-2sin²

B

2

=1-

3

8

=

5

8

．

点评：此题考查了等比、等差数列的性质，基本不等式，余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，二倍角的余弦函数公式，以及和差化积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．