题目内容

已知y=f(x)函数的图象是由y=sinx的图象经过如下三步变换得到的:
①将y=sinx的图象整体向左平移
π
6
个单位;
②将①中的图象的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的
1
2

③将②中的图象的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的2倍.
(1)求f(x)的周期和对称轴;
(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且f(C)=2,c=1,ab=2
3
,且a>b,求a,b的值.
分析:将y=sinx向左平移
π
6
个单位,得到y=sin(x+
π
6
),纵坐标不变,横坐标缩短为原来的
1
2
,变形为y=sin(2x+
π
6
),横坐标不变,纵坐标伸长为原来的2倍,变形为y=2sin(2x+
π
6
),得到f(x)的解析式,
(1)找出ω的值,代入周期公式,即可求出f(x)的最小正周期;根据正弦函数的对称轴为kπ+
π
2
,k∈Z,列出关于x的方程,求出方程的解得到f(x)的对称轴;
(2)由f(C)=2,将x=C代入f(x)解析式中,使其值等于2,整理后根据C为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值,求出C的度数,利用余弦定理得到c2=a2+b2-2abcosC,利用完全平方公式变形后,将c,cosC及ab的值代入,求出a2+b2=7,与ab=2
3
联立,根据a大于b,即可求出a与b的值.
解答:解:(Ⅰ)由变换得:f(x)=2sin(2x+
π
6
),
∵ω=2,
∴T=
2
=π;
由2x+
π
6
=kπ+
π
2
,k∈Z,得对称轴为x=
2
+
π
6
,k∈Z;
(Ⅱ)由f(C)=2得:2sin(2C+
π
6
)=2,即sin(2C+
π
6
)=1,
又C为三角形内角,
∴2C+
π
6
=
π
2
,即C=
π
6

∴cosC=
3
2
,又c=1,ab=2
3

在△ABC中,根据余弦定理,有c2=1=a2+b2-2abcosC=a2+b2-2×2
3
×
3
2

整理得:a2+b2=7,与ab=2
3
联立,且a>b,
解得:a=2,b=
3
点评:此题属于解三角形的题型,涉及的知识有:余弦定理,三角函数的图象变换,三角函数的周期性及其求法,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.
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