Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S_n=2a_n+1，则S_n=（　　）

• A、S_n=

  1

  2

  （

  3

  2

  ）ⁿ-1
• B、S_n=

  1

  2

  （

  3

  2

  ）ⁿ+1
• C、S_n=

  1

  2

  [（

  3

  2

  ）ⁿ-1]
• D、S_n=（

  3

  2

  ）^n-1

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：根据题设条件可知n≥2时，S_n-1=2a_n，两式想减整理得a_n+1=

3

2

a_n，求得n≥2时的通项公式，最后综合可得答案．

解答： 解：当n≥2时，S_n-1=2a_n，
∴2a_n+1-2a_n=S_n-S_n-1=a_n，
即a_n+1=

3

2

a_n，
∴数列{a_n}为从第二项起的等比数列，a₂=

1

2

，公比为

3

2

，
∴a_n=

1

2

×（

3

2

^）n-2（n≥2）
当n=1时，a₁=1，不符合，
∴当n≥2时，S_n=1+

1

2

+

3

4

+…+

1

2

×（

3

2

^）n-2=（

3

2

）^n-1．
当n=1时，也符合
∴S_n=（

3

2

）^n-1．
故选：D．

点评：本题主要考查了数列的递推式求数列通项公式与求和．解题的最后一定要验证a₁．是中档题．