Question

6．某单位共有10名员工，他们某年的收入如表：

员工编号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
年薪（万元）	3	3.5	4	5	5.5	6.5	7	7.5	8	50

（Ⅰ）从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于5万的人数记为X，求X的分布列和期望；
（Ⅱ）已知员工年薪收入y与工作年限x成正相关关系，若某员工工作第一年至第四年的年薪如表：

工作年限	1	2	3	4
年薪（万元）	3.0	4.2	5.6	7.2

预测该员工第五年的年薪为多少？
附：线性回归方程${\;}_{y}^{-}$=bx+a中细数参考公式和参考数据分别为：
${\;}_{b}^{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{（x}_{i}{-}_{x}^{-}）（{y}_{i}{-}_{y}^{-}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}{-}_{x}^{-}）^{2}}$，${\;}_{a}^{∧}$=${\;}_{y}^{-}$-bx，其中${\;}_{x}^{-}$，${\;}_{y}^{-}$为样本均值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，随机变量X的可能取值为0，1，2，
计算对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望值；
（Ⅱ）计算平均数，求出回归系数，写出线性回归方程，计算x=5时$\stackrel{∧}{y}$的值即可．

解答 解：（Ⅰ）年薪高于5万的有6人，低于或等于5万的有4人；
所以X的可能取值为0，1，2；
计算P（X=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{2}{15}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{•C}_{6}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{8}{15}$，P（X=2）=$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{1}{3}$；
所以随机变量X的分布列为

X	0	1	2
P	$\frac{2}{15}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{1}{3}$

数学期望为EX=0×$\frac{2}{15}$+1×$\frac{8}{15}$+2×$\frac{1}{3}$=$\frac{6}{5}$；
（Ⅱ）设x_i，y_i（i=1，2，3，4）分别表示工作年限及相应年薪，则
$\overline{x}$=$\frac{1}{4}$$\sum_{i=1}^{4}$x_i=2.5，$\overline{y}$=$\frac{1}{4}$$\sum_{i=1}^{4}$y_i=5
$\sum_{i=1}^{4}$${{（x}_{i}-\overline{x}）}^{2}$=2.25+0.25+0.25+2.25=5，
$\sum_{i=1}^{4}$（x_i-$\overline{x}$）（y_i-$\overline{y}$）=（-1.5）×（-2）+（-0.5）×（-0.8）+0.5×0.6+1.5×2.2=7，
∴${\;}_{b}^{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{（x}_{i}{-}_{x}^{-}）（{y}_{i}{-}_{y}^{-}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}{-}_{x}^{-}）^{2}}$=$\frac{7}{5}$=1.4，${\;}_{a}^{∧}$=${\;}_{y}^{-}$-bx=5-1.4×2.5=1.5；
∴员工年薪与工作年限的线性回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=1.4x+1.5．
当x=5时，$\stackrel{∧}{y}$=1.4×5+1.5=8.5，
预测该员工工作第5年时的年薪为8.5万元．

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，也考查了线性回归方程的应用问题，是中档题．