Question

8．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥平面ABC，∠ACB=90°，AC=CB=2，M、N分别是AB、A₁C的中点．
（1）求证：MN∥平面BB₁C₁C；
（2）若平面CMN⊥平面B₁MN，求直线AB与平面B₁MN所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连接AC₁，BC₁，则N∈AC₁且N为AC₁的中点，证明：MN∥BC₁，即可证明MN∥平面BB₁C₁C；
（2）以C为原点，分别以CB，CC₁，CA所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面B₁MN，即可求直线AB与平面B₁MN所成角的正弦值．

解答 （1）证明：连接AC₁，BC₁，则N∈AC₁且N为AC₁的中点，
又∵M为AB的中点，∴MN∥BC₁，
又BC₁?平面BB₁C₁C，MN?平面BB₁C₁C，
故MN∥平面BB₁C₁C．…（4分）
（2）解：由A₁A⊥平面ABC，得AC⊥CC₁，BC⊥CC₁．
以C为原点，分别以CB，CC₁，CA所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设CC₁=2λ（λ＞0），
则M（1，0，1），N（0，λ，1），B₁（2，2λ，0），$\overrightarrow{CM}=（{1，0，1}）$，$\overrightarrow{MN}$=（-1，λ，0），$\overrightarrow{N{B_1}}=（{2，λ，-1}）$．
取平面CMN的一个法向量为$\overrightarrow m=（{x，y，z}）$，
由$\overrightarrow{CM}•\overrightarrow m=0$，$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow m=0$得：$\left\{\begin{array}{l}x+z=0\\-x+λy=0\end{array}\right.$，令y=1，得$\overrightarrow m=（{λ，1，-λ}）$，
同理可得平面B₁MN的一个法向量为$\overrightarrow n=（{λ，1，3λ}）$，
∵平面CMN⊥平面B₁MN，∴$\overrightarrow m•\overrightarrow n={λ^2}+1-3{λ^2}=0$，
解得$λ=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，得$\overrightarrow n=（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1，\frac{{3\sqrt{2}}}{2}}）$，又$\overrightarrow{AB}=（{2，0，-2}）$，
设直线AB与平面B₁MN所成角为θ，则$sinθ=|{cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow{AB}＞}|=\frac{{|{\overrightarrow n•\overrightarrow{AB}}|}}{{|{\overrightarrow n}||{\overrightarrow{AB}}|}}=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．
所以，直线AB与平面B₁MN所成角的正弦值是$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面角，考查向量方法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．