Question

△ABC中，AB=4，AC=2，D为边BC上一点，满足

AD

=

1

3

AB

+

2

3

AC

，|

AD

| =

6

．
（Ⅰ）求

AB

•

AC

的值；
（Ⅱ）求BC的长；
（Ⅲ）求2C-B的度数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把已知等式

AD

=

1

3

AB

+

2

3

AC

左右两边平方，利用完全平方公式及平面向量的数量积运算法则整理后，将各种向量的模代入，即可求出

AB

•

AC

的值；
（Ⅱ）由第一问求出的

AB

•

AC

=

11

2

，左边平面向量的数量积运算法则化简，将|

AB

|和|

AC

|的值代入求出cos∠BAC的值，再由AB及AC的长，利用余弦定理列出关于BC的方程，求出方程的解即可得到BC的长；
（Ⅲ）由三角形的三边长，利用余弦定理求出cosB的值，根据cosB的值大于0得出B的范围，进而利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，再由余弦定理求出cosC的值，由cosC的值小于0，得出C的范围，进而利用二倍角的余弦函数公式化简cos2C，将求出的cosC的值代入求出cos2C的值，由cos2C的值小于0，得到2C的范围，进而利用同角三角函数间的基本关系求出sin2C的值，最后利用两角和与差的正弦函数公式化简sin（2C-B），将各种的值代入求出sin（2C-B）的值，再由2C及B的范围求出2C-B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出2C-B的度数．

解答：解：（Ⅰ）

AD

=

1

3

AB

+

2

3

AC

两边平方得：

AD

2=

1

9

AB

2+

4

9

AC

2+

4

9

×

AB

•

AC

，
即|

AD

|²=

1

9

|

AB

|²+

4

9

|

AC

|²+

4

9

×

AB

•

AC

，
又|

AC

|=

6

，|

AB

|=4，|

AC

|=2，
∴6=

1

9

×16+

4

9

×4+

4

9

×

AB

•

AC

，
则

AB

•

AC

=

11

2

；
（Ⅱ）由

AB

•

AC

=

11

2

得：|

AB

|•|

AC

|cos∠BAC=

11

2

，
又|

AB

|=4，|

AC

|=2，
∴cos∠BAC=

11

16

，又AB=4，AC=2，
由余弦定理得：BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos∠BAC
=16+4-11=9，
∴BC=3；
（Ⅲ）∵AB=c=4，AC=b=2，BC=a=3，
∴由余弦定理得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

9+16-4

24

=

7

8

＞0，
∴B∈（0，

π

2

），
∴sinB=

1-cos2B

=

15

8

，
又cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

9+4-16

12

=-

1

4

＜0，
∴C∈（

π

2

，π），
∴cos2C=2cos²C-1=-

7

8

＜0，
∴2C∈（π，

3π

2

），
∴sin2C=

1-cos22C

=-

15

8

，
∴sin（2C-B）=sin2CcosB-cos2CsinB
=-

15

8

×

7

8

-（-

7

8

）×

15

8

=0，
又2C-B∈（

π

2

，

3π

2

），
∴2C-B=π．

点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算法则，同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，以及正弦、余弦函数的图象与性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．