Question

如图，D,E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合，已知AE的长为m，AC的长为n，AD,AB关于x的方程 的两个根.

（Ⅰ）证明：C、B、D、E四点共圆；

（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C、B、D、E所在圆的半径.

 

Answer 1

（Ⅰ）详见解析;（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（I）做出辅助线，根据所给的AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程的两个根，得到比例式，根据比例式得到三角形相似，根据相似三角形的对应角相等，得到结论．（II）根据所给的条件做出方程的两个根，即得到两条线段的长度，取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH，根据四点共圆得到半径的大小．

试题解析：【解析】
（Ⅰ）连结，

根据题意在△和△中，，即．

又 ，从而△∽△．因此．所以四点共圆． 5分

（Ⅱ）时，方程的两根为．故， ．取的中点，的中点，分别过作的垂线，两垂线相交于点，连结．因为四点共圆，所以四点所在圆的圆心为，半径为，由于，故∥，∥．从而，．故四点所在圆的半径为． 10分.

考点：1.正弦定理；2.圆的标准方程．