Question

3．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左，右焦点分别为F₁，F₂，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形，若|PF₁|=8，椭圆与双曲线的离心率分别为e₁，e₂，则e₁•e₂+1的取值范围是（　　）

• A． （1，+∞）
• B． $（\frac{8}{3}，+∞）$
• C． $（\frac{4}{3}，+∞）$
• D． $（\frac{10}{9}，+∞）$

Answer 1

分析 设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF₁|=m，|PF₂|=n，（m＞n），由条件可得m=8，n=2c，再由椭圆和双曲线的定义可得a₁=4+c，a₂=4-c，（c＜4），运用三角形的三边关系求得c的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围．

解答 解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF₁|=m，|PF₂|=n，（m＞n），
由于△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形．若|PF₁|=8，
即有m=8，n=2c，
由椭圆的定义可得m+n=2a₁，
由双曲线的定义可得m-n=2a₂，
即有a₁=4+c，a₂=4-c，（c＜4），
再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c=4c＞8，
则c＞2，即有2＜c＜4．
由离心率公式可得e₁•e₂=$\frac{c}{{a}_{1}}$•$\frac{c}{{a}_{2}}$=$\frac{{c}^{2}}{16-{c}^{2}}$=$\frac{1}{\frac{16}{{c}^{2}}-1}$，
由于1＜$\frac{16}{{c}^{2}}$＜4，则有$\frac{1}{\frac{16}{{c}^{2}}-1}$＞$\frac{1}{3}$．
则e₁•e₂+1＞$\frac{1}{3}$+1=$\frac{4}{3}$．
∴e₁•e₂+1的取值范围为（$\frac{4}{3}$，+∞）．
故选：C．

点评 本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查三角形的三边关系，考查运算能力，属于中档题．