Question

15．已知函数f（x）=cos2x，g（x）=sinx，h（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）．
（1）判断函数H（x）=f（x+$\frac{π}{4}$）+g（x+$\frac{π}{2}$）的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数h（x+$\frac{π}{2}$）和h（x-π）都是奇函数，将满足条件的ω按从小到大的顺序组成一个数列{a_n}，求{a_n}的通项公式；
（3）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+a•g（x）在（0，nπ）内恰有147个零点．

Answer 1

分析 （1）函数H（x）=-sin2x+cosx，为非奇非偶函数．运用奇偶性的定义即可得到；
（2）由奇函数和诱导公式可得$\frac{π}{2}$ω+φ=kπ，φ-ωπ=lπ（k，l∈Z），解得ω=$\frac{2}{3}$（k-l），即可得到所求通项公式；
（3）由题意可得a=2sinx-$\frac{1}{sinx}$，作出函数y=2sinx-$\frac{1}{sinx}$在（0，2π）的图象，讨论一个周期内的零点个数，即可得到所求n和a的值．

解答 解：（1）函数H（x）=f（x+$\frac{π}{4}$）+g（x+$\frac{π}{2}$）=cos2（x+$\frac{π}{4}$）+sin（x+$\frac{π}{2}$）
=-sin2x+cosx，为非奇非偶函数．
理由：定义域为R，H（-x）=-sin2（-x）+cos（-x）=sin2x+cosx≠H（x），
且H（-x）≠-H（x），即有H（x）为非奇非偶函数；
（2）函数h（x+$\frac{π}{2}$）和h（x-π）都是奇函数，
即有sin（ωx+$\frac{π}{2}$ω+φ）和sin（ωx+φ-ωπ）均为奇函数，
则$\frac{π}{2}$ω+φ=kπ，φ-ωπ=lπ（k，l∈Z），
解得ω=$\frac{2}{3}$（k-l），由于ω＞0，k，l∈Z，则ω=$\frac{2}{3}$n．
故数列{a_n}的通项公式为a_n=$\frac{2n}{3}$；
（3）F（x）=f（x）+a•g（x）=cos2x+asinx=1-2sin²x+asinx，
令F（x）=0，可得a=2sinx-$\frac{1}{sinx}$，
作出函数y=2sinx-$\frac{1}{sinx}$在（0，2π）的图象，
由一个周期内，a=1，或-1，有3个交点，即3个零点；
a＞1或a＜-1，有2个交点，即2个零点；当-1＜a＜1，有4个交点，即4个零点．
由F（x）在（0，nπ）内恰有147个零点．
故a=1或-1，n=49×2=98．

点评 本题考查三角函数的奇偶性和周期性的运用，同时考查诱导公式的运用，以及函数的零点的个数的求法，注意运用周期性，考查运算能力，属于中档题．