Question

10．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F₁，F₂，离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，过F₂的直线l交C于A，B两点，若△ABF₁的周长为4$\sqrt{3}$，则C的短轴长为（　　）

• A． 2
• B． $2\sqrt{2}$
• C． 4
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，2a=4$\sqrt{3}$，b²=a²-c²=3-1=2，C的短轴长2b=2$\sqrt{2}$．

解答 解：由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
若△ABF₁的周长为4$\sqrt{3}$，4a=4$\sqrt{3}$，
∴a=$\sqrt{3}$，c=1，
由b²=a²-c²=3-1=2，
b=$\sqrt{2}$，
C的短轴长2$\sqrt{2}$
故答案选：C．

点评 本题考查椭圆的简单几何性质，离心率公式，考查计算能力，属于基础题．