Question

9．已知函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$，g（x）=-xe^-x，若对任意的x₁∈[1，e]，存在x₂∈[0，2]，使得f（x₁）≥g（x₂），则a的取值范围为$[-1-\frac{1}{e}，+∞）$．

Answer 1

分析 对任意的x₁∈[1，e]，存在x₂∈[0，2]，使得f（x₁）≥g（x₂），等价于f（x₁）_min≥g（x₂）_min．g（x）=-xe^-x，x∈[0，2]，g′（x）=（x-1）e^-x，可知x=1时函数g（x）取得极小值，g（1）=$-\frac{1}{e}$．x+$\frac{a}{x}$≥$-\frac{1}{e}$恒成立，x∈[1，e]，化为：a≥-x²-$\frac{1}{e}x$=$-（x+\frac{1}{2e}）^{2}$+$\frac{1}{4{e}^{2}}$=u（x），利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：对任意的x₁∈[1，e]，存在x₂∈[0，2]，使得f（x₁）≥g（x₂），
等价于f（x₁）_min≥g（x₂）_min．
g（x）=-xe^-x，x∈[0，2]，g′（x）=（x-1）e^-x，可知x=1时函数g（x）取得极小值，g（1）=$-\frac{1}{e}$．
∴x+$\frac{a}{x}$≥$-\frac{1}{e}$恒成立，x∈[1，e]，
化为：a≥-x²-$\frac{1}{e}x$=$-（x+\frac{1}{2e}）^{2}$+$\frac{1}{4{e}^{2}}$=u（x），
u（x）在x∈[1，e]上单调递减，因此x=1时，u（x）取得最大值-1-$\frac{1}{e}$，
∴a≥-1-$\frac{1}{e}$，
∴a的取值范围为$[-1-\frac{1}{e}，+∞）$．
故答案为：$[-1-\frac{1}{e}，+∞）$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．