Question

1．已知函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设g（x）=xf（x），若g（x）-x+m≤0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$．由此利用导数性质能求出f（x）的单调区间．
（2）g（x）=xf（x）=lnx，令h（x）=g（x）-x+m=lnx-x+m，则${h}^{'}（x）=\frac{1}{x}-1$，g（x）-x+m≤0恒成立，知[h（x）]_max≤0，由此能求出实数m的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$，
∴f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$．
令f'（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=0，则x=e．
列表如下：

x	（0，e）	e	（e，+∞）
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗	$\frac{1}{e}$	↘

∴f（x）的减区间为（e，+∞），增区间为（0，e）．
（2）g（x）=xf（x）=lnx，
令h（x）=g（x）-x+m=lnx-x+m，则${h}^{'}（x）=\frac{1}{x}-1$，
∵g（x）-x+m≤0恒成立，∴h（x）_max≤0，
∵由${h}^{'}（x）=\frac{1}{x}-1=0$，得x=1，
当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0．
∴[h（x）]_max=h（1）=ln1-1+m=m-1≤1．
∴m≤1．
∴实数m的取值范围是（-∞，1]．

点评 本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．