Question

18．已知函数f（x）=4x²-2（p-2）x-2p²-p+1在区间[-1，1]上存在实数x₀，使f（x₀）＞0，试求实数p的范围．

Answer 1

分析 由f（x）=4x²-2（p-2）x-2p²-p+1，可得其对称轴方程为：x=$\frac{p-2}{4}$，分x=$\frac{p-2}{4}$≥1，x=$\frac{p-2}{4}$≤-1，及x=$\frac{p-2}{4}$∈（-1，1），三类讨论，分别求得对应情况下的f（x）_max，依题意，令f（x）_max＞0，最后取并即可．

解答 解：f（x）=4x²-2（p-2）x-2p²-p+1，对称轴方程为：x=$\frac{p-2}{4}$，
（1）当x=$\frac{p-2}{4}$≥1，即p≥6时，f（x）在区间[-1，1]上单调递减，
f（x）_max=f（-1）=4+2（p-2）-2p²-p+1=-2p²+p+1，
依题意，-2p²+p+1＞0，解得-$\frac{1}{2}$＜p＜1，所以在这个范围内p不存在；
（2）当x=$\frac{p-2}{4}$≤-1，即p≤-2时，f（x）在区间[-1，1]上单调递增，
f（x）_max=f（1）=4-2（p-2）-2p²-p+1=-2p²-3p+9，
依题意，-2p²-3p+9＞0，解得-3＜p＜$\frac{3}{2}$，所以p∈（-3，-2]；
（3）当对称轴x=$\frac{p-2}{4}$∈（-1，1），即-2＜p＜6时，f（1）＞0，或f（-1）＞0，
当 f（1）＞0时，解得：-2＜p＜$\frac{3}{2}$；
当 f（-1）＞0时，解得：-$\frac{1}{2}$＜p＜1；
所以综上所述 p属于（-3，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查二次函数的性质及其应用，考查分类讨论思想及集合的交、并运算能力，属于难题．